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数学科普｜100个人分月饼，你能避开五仁吗？

来源：互联网
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2020-10-03
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Helen 罗博深数学

作者 | Helen

文 3021字阅读时间 8分钟

又是一年中秋佳节，今年你和家人一起吃月饼吗？

你知道分月饼中隐藏着哪些有趣的数学吗？

和孩子一起过中秋的同时，也别忘了带他们思考这些知识！

“露从今夜白，月是故乡明。”

他乡的中秋总是难熬的，唯有月饼才能聊解乡愁吧。

天气一凉下来，我就会想起杭州的榨菜鲜肉月饼。

坐在妈妈自行车后座心急火燎地咬一口，榨菜的清爽，肉的多汁，酥皮的层次......味道就在嘴边，却怎么回忆都想不起来。

听说最近还有更新奇的口味的月饼崭露头角，螺蛳粉馅的月饼甚至还登上了新闻联播。这混搭，真可谓万物皆月饼。

今天我也来沾点中秋的光，和大家一起云吃月饼。

月饼大杂烩

2018年中秋，3个留学生买了10个天南海北不同口味的月饼。Helen想吃3个，Michelle只想吃2个，Shirley想要吃5个。这样的话，一共有多少种不同的分法呢？

因为每个月饼的口味都不一样，我们在分月饼的时候也要把馅料的分配考虑在内。

我们借助盘子工具来简化这个问题。

10 个月饼装在 10 个不同的盘子里排成一排，一共有多少种方法？

第一个盘子，我们可以从 10 个月饼里面选，第二个盘子我们可以从剩下的 9 个里面选，以此类推，我们一共有 10! 种不同的选法。

[* 10! 指的是10的阶乘。也就是10*9*8*7…*2*1。一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积。]

但是我们真的有这么多种分配方法吗？显然不是的。

最前面两个盘子里面的月饼是Michelle的，接下来的三个盘子里的月饼是Helen的，最后五个盘子里的月饼属于Shirley。

对于Helen 来说，她的三个盘子里月饼的顺序是不重要的，先拿到奶黄月饼，再拿到冰皮月饼，最后拿到鲜花月饼和先拿到鲜花月饼，再拿到奶黄月饼，最后拿到冰皮月饼对Helen来说没有区别。那么在Helen的三个盘子里，一共有 3! 种不同的排列方法。对于Michelle 来说就是 2! 种，Shirley 有 5! 种，这些都是我们重复计算的。

除去重复算入的排列方法，实际上其实一共只有 10!/(2!3!5!) 种不同的分配方法，你想明白了吗？

五仁月饼风波

到了2019年中秋，3个人的中秋小分队又多了两个新伙伴，5个人买了10个五仁月饼。假设每个人至少吃1个月饼，那么一共有几种分法呢？

因为只有五仁月饼，大家就只有分得多分得少的问题，不必再考虑不同口味的分配了。

5个人刚好吃10个月饼。你想到怎么分了吗？

我们不妨把月饼排成一排，每两个人的月饼中间插一个小隔板，把2个人的月饼给分隔开，这样一共有多少种分隔方法？

首先我们知道，如果想把月饼分成5份，应该有4个这样的小隔板。因为一共有10个月饼，所以一共有9个位置能让我们摆放小隔板。

图示如下：

●|●|●|●|●●●●●●、

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●|●●●|●|●|●●●●、

●|●●●●|●|●|●●●、

●|●●●●●|●|●|●●

等等。

可能正在读文章的你已经想到了，这可以用叫做Choose(选择)的函数来表示，也就是 C(9,4) = 9!/4!(9-4)! ，9 个里面选 4 个。

选择 Choose 函数 C(n, k) 是用来计算从 n 个不同物品，选择 k 个，求一共有多少种不一样的选择方法的函数。

选第一个物品的时候，有 n 种选法，第二个是 (n-1) 种，一直到 n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n!/(n-k)!。

注意我们选择k个物品的顺序其实是无关的，所以还要除以我们重复算的 k!种方法，就是 n!/(k!(n-k)!)。还记得上面提到的盘子吗！其实这就相当于把 n 个物品划分为 k 个一组和 (n-k) 个一组。

那如果有同学不想吃月饼的话。这时候我们又要怎么分呢？我们的小隔板在这里还有用吗？当然是有用的啦！

情况就可能会变成

●|||●●●|●●●●●●、

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●||●●●●●|●|●||●●

等等。

这里唯一的变化就是，小隔板之间不一定要有月饼，因为有的同学不吃。隔板还是4个，但是可以摆放的位置就不仅仅只有9个了。

我们把隔板和月饼排成一排，一共10 + 4 = 14 样物品，因为隔板之间不一定需要有月饼，所以可以放在任意14个不同的位置。那么答案就是 C(14, 4)，14选4。

月饼全席

2020年中秋，我们终于号召起了100个留学生聚在一起吃月饼！他们每人带了一个月饼，所有的月饼都装在一样的包装里。现在将这些包装好的月饼随机分享给大家，有多少种不同的情况，使任何一个人拿到的都不是自己带来的月饼？

其实这道题目是很经典的大学排列组合题，讨论的是随机分配(Derangement)。每个排列组合问题都有好多种解法，今天给大家介绍其中一种。

我们将 n 个月饼分给 n 个同学，用 D(n) 表示这样一种特殊情况，即100人中，有n名同学拿到的不是自己的月饼，这里我们要讨论的就是 n=100 时的情况。

在这里D指的就是上文提到的随机分配， Derangement，n 则表示我们需要研究 n 对物品的随机重新配对，一共有多少种不同的重新方式，使任何一对新组合都与原先的组合不同。在数学里，把未知的问题转换为更简单的已知问题，是一种非常常见的核心理念，在这里我们也想把 D(100) 转化为更简单的情况。

• 第一个来的Helen同学带来了榨菜鲜肉月饼(我们用字母A来表示)，她不拿到A的情况有 (100-1=99) 种。

• 我们再来看Michelle同学，如果她拿到了A，那么剩下的（100-2=98）个同学只能分98个月饼。这种情况相当于我们随机分配其余的98个月饼给其余的98个同学，也就是D(98)。再考虑Helen的99种选择，一共是99*D(98)种情况。

• 如果Michelle没有拿到A，那么她和其他98个同学可以一起分其余的99个月饼，也就是D(99)。再考虑Helen可以选择的（100-1 = 99）种不同情况，所以99*D(99)。

• 因为Michelle拿到榨菜鲜肉月饼和不拿到榨菜鲜肉月饼都有可能发生，所以两种都需要考虑。最后D(100) = 99(D(98) + D(99))。

当然问题到这里还没有结束，我们只进行了转化的这一步，要想得到最终的结果我们还需要考虑一些简单的例子。

如果现在只有Helen一个同学来参加月饼全席，她带来了榨菜鲜肉月饼，无论如何她都只能吃到榨菜鲜肉这一种月饼，所以每个人不吃到她带来月饼的情况是0，D(1) = 0。如果有两个小伙伴，那么只有一种情况就是他们互相交换，所以 D(2) = 1。如果有三个小伙伴，我们就能用到我们之前发现的公式啦。

D(3) = 2(D(2)+D(1)) = 2(1+0) = 2

D(4) = 3(D(3)+D(2)) = 3(2+1) = 9

D(5) = 4(9+2) = 44

…

现在你能想到答案究竟是多少吗？

这是一个比较难解的递推关系式，但是火眼金睛的你可能看出了这实际上是一个子阶乘。